Y también hay matemáticas

  "Si de dos partes iguales quitamos partes iguales, las que quedan también son iguales" (I,33)

 

El inicio de esta quijotesca “aventura” basada en las matemáticas sólo podía comenzar en “Un lugar de la Mancha” coincidiendo con el conocido comienzo del Quijote.

En busca del lugar

Como conclusión de un anterior trabajo (http://lacocinaquenosgusta.blogspot.com/2022/09/el-lugar-de-la-mancha.html) dijimos que: "El lugar de La Mancha" que cita Cervantes y con el que empieza El Quijote, es una ficción a partir de elementos de la realidad geográfica por él conocida. De ser uno concreto, según consta en el Quijote, como ya apuntamos en su día, debe estar próximo al Toboso pueblo de Dulcinea:

[…] Y fue, a lo que se cree, que en un lugar cerca del suyo había una moza labradora de muy buen parecer, de quien él un tiempo anduvo enamorado, aunque, según se entiende, ella jamás lo supo, ni le dio cata dello. Llamábase Aldonza Lorenzo, y a ésta le pareció ser bien darle título de señora de sus pensamientos; y, buscándole nombre que no desdijese mucho del suyo, y que tirase y se encaminase al de princesa y gran señora, vino a llamarla Dulcinea del Toboso, porque era natural del Toboso; nombre, a su parecer, músico y peregrino y significativo, como todos los demás que a él y a sus cosas había puesto (I, 1).

Cervantes sitúa la primera salida en el campo de Montiel:

[...] Acertó don Quijote a tomar la misma derrota y camino que él había tomado en su primer viaje, que fue por el campo de Montiel, por el cual caminaba con menos pesadumbre que la vez pasada, porque, por ser la hora de la mañana y herirles a soslayo los rayos del sol, no les fatigaban [...](I, 7).

Recorrer todos los pueblos de la gráfica anterior empezando en Puerto Lapice no es posible. En cambio, si podemos hacer el recorrido de pasar por todos los pueblos empezando en Montiel, si así lo hiciéramos, ¿en qué pueblo acabaría nuestro viaje? ¿En San Carlos del Valle? ¿En Villamanrique?

En matemáticas el problema de encontrar una ruta por las distintas aristas de un grafo que visite cada vértice una sola vez es conocido como el problema del viajante que podemos enunciar de la siguiente forma: un repartidor de un producto para hacer su trabajo, observa el plano de una ciudad; no tiene que pasar por todas las calles sino dejar su mercancía en todos los establecimientos. Un recorrido de este tipo, se denomina un recorrido hamiltoniano. Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) matemático irlandés, se ocupó principalmente de temas algebraicos. A él se debe la primera presentación rigurosa de los números complejos y fue uno de los primeros en estudiar los caminos que llevan su nombre. Encontrar estos caminos es de gran utilidad para inspeccionar señales de tráfico, para entregar el correo en buzones de reparto, para diseñar el recorrido de un autobús escolar que debe recoger a algunos niños en puntos determinados, etc. El teorema de Euler determina cuando es posible pasar por todos los caminos.

En la gráfica de los campos de Montiel hay dos vértices impares (Infantes y Villanueva de la Fuente), así pues, debemos empezar en uno de estos dos pueblos y acabar en el otro para pasar por todos los caminos una sola vez.

Los molinos en la segunda salida

De vuelta a su pueblo, don Quijote decide salir nuevamente a impartir justicia; y esta vez lo hace en compañía de Sancho Panza:

En este tiempo, solicitó don Quijote a un labrador vecino suyo, hombre de bien (si es que este título se puede dar al que es pobre), pero de muy poca sal en la mollera. En resolución, tanto le dijo, tanto le persuadió y prometió, que el pobre villano se determinó de salirse con él y servirle de escudero. Decíale, entre otras cosas, don Quijote que se dispusiese a ir con él de buena gana, porque tal vez le podía suceder aventura, que ganase, en quítame allá esas pajas, alguna ínsula, y le dejase a él por gobernador della. Con estas promesas y otras tales, Sancho Panza, que así se llamaba el labrador, dejó su mujer y hijos y asentó por escudero de su vecino [Don Quijote, I, 7].

Este mapa se presenta la ruta seguida:

¿Es posible diseñar una ruta para visitar todos los pueblos sin pasar dos veces por un mismo pueblo? ¿Cómo planificar una ruta para recorrer todos los caminos del mapa? La primera pregunta nos plantea la posibilidad de encontrar un camino de tipo hamiltoniano. Para realizar dicho recorrido deberíamos empezar en los pueblos “extremos”: Madridejos, Fuencaliente, Montiel… Si empezamos en uno de ellos, por ejemplo, Montiel, para llegar a otro, por ejemplo, Villamanrique, es necesario pasar por el pueblo de acceso a este último, Torre de Juan Abad, dos veces (ida y vuelta). La segunda pregunta es fácil de contestar si se conoce el teorema de Euler. Hay 14 vértices impares. Así pues, debemos repetir como mínimo doce tramos para poder recorrer todos los caminos. Por supuesto, repetiríamos aquellos tramos cuya distancia fuese menor.

El capítulo donde se narra la aventura de los molinos de viento es uno de los más conocidos en la novela del Quijote:

En esto, descubrieron treinta o cuarenta molinos de viento que hay en aquel campo, y así como don Quijote los vio, dijo a su escudero:

– La ventura va guiando nuestras cosas mejor de lo que acertáramos a desear; porque ves allí, amigo Sancho Panza, donde se descubren treinta, o pocos más, desaforados gigantes, con quien pienso hacer batalla y quitarles a todos las vidas, con cuyos despojos comenzaremos a enriquecer; que ésta es buena guerra, y es gran

servicio de Dios quitar tan mala simiente de sobre la faz de la tierra.

– ¿Qué gigantes? –dijo Sancho Panza.

– Aquéllos que allí ves –respondió su amo– de los brazos largos, que los suelen tener algunos de casi dos leguas.

– Mire vuestra merced –respondió Sancho– que aquéllos que allí se parecen no son gigantes, sino molinos de viento, y lo que en ellos parecen brazos son las aspas, que, volteadas del viento, hacen andar la piedra del molino.

–Bien parece –respondió don Quijote– que no estás cursado en esto de las aventuras: ellos son gigantes; y si tienes miedo, quítate de ahí, y ponte en oración en el espacio que yo voy a entrar con ellos en fiera y desigual batalla.

Y diciendo esto, dio de espuelas a su caballo Rocinante, sin atender a las voces que su escudero Sancho le daba, advirtiéndole que, sin duda alguna, eran molinos de viento, y no gigantes, aquéllos que iba a acometer. Pero él iba tan puesto en que eran gigantes, que ni oía las voces de su escudero Sancho, ni echaba de ver, aunque estaba ya bien cerca, lo que eran; antes iba diciendo en voces altas:

– Non fuyades, cobardes y viles criaturas; que un solo caballero es el que os acomete.

Levantóse en esto un poco de viento, y las grandes aspas comenzaron a moverse, lo cual visto por don Quijote, dijo:

– Pues aunque mováis más brazos que los del gigante Briareo, me lo habéis de pagar (I, 8).

Había cuarenta molinos en el campo manchego. Don Quijote, creyendo que eran gigantes, arremetió contra ellos. Su escudero Sancho pudo detenerlo cuando solo quedaban en pie diez molinos. Es curioso, pero dichos molinos estaban situados en cinco líneas rectas y en cada una de ellas había exactamente cuatro molinos. ¿Cómo pudo hacer esto don Quijote?

Tercera salida: Don Quijote se dirige al Toboso

Don Quijote y Sancho inician la tercera salida, encaminándose al Toboso, y de El Toboso llegan a Barcelona pasando por tierras aragonesas:

¡Bendito sea el poderoso Alá! –dice Hamete Benengeli al comienzo deste octavo capítulo–. ¡Bendito sea Alá! repite tres veces, y dice que da estas bendiciones por ver que tiene ya en campaña a don Quijote y a Sancho, y que los letores de su agradable historia pueden hacer cuenta que desde este punto comienzan las hazañas y donaires de don Quijote y de su escudero; persuádeles que se les olviden las pasadas caballerías del Ingenioso Hidalgo, y pongan los ojos en las que están por venir, que desde agora en el camino del Toboso comienzan, como las otras comenzaron en los campos de Montiel (II, 8).

 

 

Cruzaron el Ebro

[…] mas tanto anduvo mirando, que vio un pescador que tenía junto a sí un barco, tan pequeño que solamente podían caber en él una persona y una cabra; y, con todo esto, le habló, y concertó con él que le pasase a él y a trescientas cabras que llevaba. Entró el pescador en el barco, y pasó una cabra; volvió, y pasó otra; tornó a volver, y tornó a pasar otra. Tenga vuestra merced cuenta en las cabras que el pescador va pasando, porque si se pierde una de la memoria, se acabará el cuento, y no será posible contar más palabra dél (I, 20).

Durante el siglo IX, Alcuino, amigo y preceptor de Carlomagno, inventó el problema del lobo, la cabra y la col. A este problema se le atribuye mayor antigüedad al hallarse escrito en unos versos latinos del siglo X. En el siglo XVI, Tartaglia escribió una versión más compleja del mismo problema.

1. Los maridos celosos

Tres maridos celosos se hallan de noche con sus mujeres junto a un río que han de atravesar en un pequeño bote en el que sólo caben dos personas. ¿Cómo pueden pasar esas seis personas de dos en dos de modo que en ningún caso quede mujer alguna en compañía de uno o de dos hombres no siendo uno de ellos su marido? Y hay otros enunciados de los muchos que existen sobre este problema.

2. Los caníbales

Tres misioneros y tres caníbales llegan a la orilla de un río en medio de una espesa jungla. Encuentran un bote en el que solo caben dos personas. Los misioneros se dan cuenta de que deben tener cuidado de no dejar nunca que los caníbales les superen en número, o de lo contrario correrían el riesgo de ser devorados. ¿Cómo pueden atravesar el río sin que los caníbales puedan comerse a ningún misionero?

3. Un batallón de soldados

Un batallón de 300 soldados debe cruzar un río. En la orilla hay dos niños jugando en un bote. El bote es tan pequeño que sólo da cabida a dos niños o bien a un soldado. Aún así, todos los soldados, que son muchos, logran cruzar el río con el bote. ¿Cuál es la menor cantidad de travesías requeridas para cruzar los 300 soldados?

4. Romanos, cartagineses y griegos

Cuatro soldados romanos, cuatro cartagineses y cuatro griegos se encuentran en una orilla de un río y han de cruzar a la otra orilla, para ello, existe una barca en la que caben como máximo tres soldados. Para evitar conflictos no debe haber mayor número de romanos que de cartagineses o cartagineses que griegos, en cualquier lado del río o en la barca. ¿Cómo se puede realizar el traslado de una orilla a otra del río con el mínimo número de movimiento?

5. Españoles, ingleses, alemanes y franceses

Cinco soldados de cada uno de los países citados en el título se encuentran en una orilla del río y han de pasar a la otra orilla en una barca en la que caben cuatro soldados. No debe haber mayor número de españoles que de ingleses, ingleses que alemanes o franceses, en cualquier lado del río o en la barca. ¿Cuáles y cuántos movimientos mínimos deben efectuar para realizar el cruce?

Cartago y la reina Dido

El poeta romano Virgilio narra en la Eneida la leyenda de la reina Dido, fundadora legendaria de la Ciudad de Cartago. La fundación de esta ciudad, como ya veremos más adelante, está vinculada a un problema isoperimétrico: ¿cómo obtener la máxima superficie encerrada en un perímetro dado? Muchas ciudades medievales han sido construidas con dicho criterio, aprovechando el curso de un río o la costa marítima para hacer sus murallas de modo que dejaran la ciudad encerrada en un contorno semicircular. Y es que, desde muy antiguo, se sabe que la circunferencia es, entre las figuras planas de igual perímetro, la que encierra mayor área, porque los griegos así lo habían demostrado.

En el Quijote, la princesa Dido es presentada como modelo de hermosura y piedad en contraposición con la traición y el atrevimiento de Eneas:

– A vos y de vos la pido –replicó don Quijote–; porque ni yo soy de mármol ni vos de bronce, ni ahora son las diez del día, sino media noche, y aún un poco más, según imagino, y en una estancia más cerrada y secreta que lo debió de ser la cueva donde el traidor y atrevido Eneas gozó a la hermosa y piadosa Dido. Pero dadme, señora, la mano; que yo no quiero otra seguridad mayor que la de mi continencia y recato, y la que ofrecen esas reverendísimas tocas (II, 48).

Conozcamos la leyenda de la princesa Dido que está vinculada a la fundación de Cartago: Cartago fue una ciudad fenicia fundada por mercaderes de Tiro a mediados del siglo IX a.C.; era una escala ideal para las transacciones comerciales fenicias que abarcaban todo el mar Mediterráneo y llegaban aún más allá del estrecho de Gibraltar. La reina Dido, relacionada con el mito de Eneas, se considera su fundadora. Según cuenta el mito, el rey de Tiro tenía dos hijos: Pigmalión y Dido; cuando muere, el pueblo reconoció a Pigmalión como monarca y Dido se casó con su tío Siqueo, uno de los grandes sacerdotes del reino. El nuevo rey, temeroso del poder de Siqueo, lo hizo asesinar para apoderarse de los tesoros de la corona custodiados en el templo, pero no logró su propósito porque Dido se le adelantó y huyó con ellos hasta la isla de Chipre, donde raptó a ochenta doncellas consagradas a Afrodita para entregarlas por esposas a sus compañeros de destino. Al llegar a África, pidió a los indígenas tierra para fundar una ciudad y estos accedieron a que Dido ocupase tanta tierra como pudiese abarcar la piel de un toro. La princesa cortó la piel en finas tiras, las unió y con la larga cuerda así formada consiguió el espacio suficiente para construir una ciudad: Cartago. Este hecho se sitúa hacia el año 880 a.C., según cuenta la leyenda, aunque la historia nos dice que cuando Dido desembarcó en África, Cartago había sido ya fundada. A ella debe Cartago la edificación de una ciudadela a la que dio el nombre de Birsa, que en griego significa cuero.

[...] digo que supo este gigante, en sabiendo mi orfandad, había de pasar con gran poderío sobre mi reino, y me lo había de quitar todo, sin dejarme una pequeña aldea donde me recogiese; pero que podía excusar toda esta ruina y desgracia si yo me quisiese casar con él: mas a lo que él entendía, jamás pensaba que me vendría a mí en voluntad de hacer tan desigual casamiento [...](I, 30).

Cuando Cartago fue una gran ciudad, Jarbas, rey de la ciudad vecina, le propuso que se casara con él, pero Dido se negó. Quiso entonces obligarla por la fuerza a acceder a su petición y, para ello, puso en pie de guerra a numerosos escuadrones, marchó contra Cartago y sitió la ciudad. Dido fingió acceder a los deseos de Jarbas y pidió un plazo de tres meses para calmar con sacrificios la sombra de su primer marido, aunque la verdad era que había decidido no casarse con él. Preparó una pira con el pretexto de sacrificar víctimas a su esposo, sacó de entre sus vestidos un puñal que llevaba oculto y se mató.

[…] Apeáronse en un mesón, que por tal le reconoció don Quijote, y no por castillo de cava honda, torres, rastrillos y puente levadiza; que después que le vencieron, con más juicio en todas las cosas discurría, como agora se dirá. Alojáronle en una sala baja, a quien servían de guadameciles unas sargas viejas pintadas, como se usan en las aldeas. En una dellas estaba pintado de malísima mano el robo de Elena, cuando el atrevido huésped se la llevó a Menalao, y en otra estaba la historia de Dido y de Eneas, ella sobre una alta torre, como que hacía señas con una media sábana al fugitivo huésped, que por el mar, sobre una fragata o bergantín, se iba huyendo. Notó en las dos historias que Elena no iba de muy mala gana, porque se reía a socapa y a lo socarrón; pero la hermosa Dido mostraba verter lágrimas del tamaño de nueces por los ojos. Viendo lo cual don Quijote, dijo:

–Estas dos señoras fueron desdichadísimas, por no haber nacido en esta edad, y yo sobre todos desdichado en no haber nacido en la suya; pues si yo encontrara a aquestos señores, ni fuera abrasada Troya, ni Cartago destruida, pues con sólo que yo matara a Paris se excusaran tantas desgracias (II, 71).

La Eneida, sin embargo, nos cuenta otra versión de la muerte de Dido: Eneas, uno de los héroes troyanos, en su huida de Troya llegó a Cartago donde Dido se enamoró de él; finalmente, el abandono de éste, acabó impulsándola al suicidio.

No hay duda de que el área de una piel de toro sin dividir es mucho menor que la que pueda obtenerse cortándola en tiras y colocándola de forma que abarque la mayor cantidad de terreno posible. La princesa Dido resolvió el problema de encontrar la curva con un perímetro dado que encierra la máxima área. El perímetro de esa curva corresponde a la unión de todas las tiras de la piel de toro.

Matemáticamente, sabemos que la curva que encierra esa área máxima es una circunferencia. Cuando una parte de la curva tiene un segmento de línea recta de longitud arbitraria, entonces el área es aún mayor cuando con ella se determina un semicírculo. Dido, con las tiras de la piel de toro

cosidas una tras otra, hizo una semicircunferencia cuyo diámetro era la línea de costa, que delimitaba un espacio suficientemente extenso como para poder construir una ciudad.

Supongamos que la piel de toro fuese equivalente a la superficie lateral de un cilindro de 2 m de altura y 0,5 m de radio y que se cortasen tiras de 2mm., ¿cuál sería la superficie de la semicircunferencia delimitada por las tiras de piel de toro? ¿Habría espacio suficiente para construir una ciudad? Así pues, Dido podía haber hecho 1000 tiras de Л metros de largas. La ciudad semicircular construida en estas condiciones tendría un radio de 1 km., y una superficie de 106 Л m2.

La teoría de los isoperímetros fue desarrollada por los griegos a partir del siglo III a.C. Pappus de Alejandría escribió un libro titulado Synagoge o Colección matemática que constaba de ocho libros. En el Libro V describió cómo las abejas construyen sus panales: las abejas conocen, en realidad, este hecho que les es muy útil, saben que el hexágono es mayor que el cuadrado y que el triangulo y que tendrán más miel por el mismo gasto de material en la construcción de cada panal. Pero nosotros somos más sabios que las abejas, e investigaremos más profundamente el problema, mencionando que de todas las figuras planas, equilaterales y equiangulares de igual perímetro, las que tienen el mayor número de ángulos, son siempre las mayores, y que la mayor de todas ellas es el círculo, teniendo su perímetro igual a ellas.

En este libro se demuestra que es el círculo quien tiene mayor área que un polígono regular de igual perímetro. Pappus demostró, a la vez, que entre todos los polígonos regulares que pueden recubrir el plano por yuxtaposición, es el hexágono regular el que presenta un perímetro mínimo para un área dada. Hoy en día, por medio del cálculo integral, la optimización y el cálculo de variaciones, se estudian este tipo de problemas con el nombre de “Problema de Dido”.

Un millón seiscientos mil

La lectura de números como los hasta ahora señalados no provocan ningún tipo extrañeza, antes bien, se aceptan de buen grado, porque con ellos queda claramente expresada la idea que el autor del texto quiere hacernos sentir. Sin embargo, si se utiliza un número como 1.600.000 surge inmediatamente la pregunta: ¿por qué? ¿Por qué esa cantidad y no, por ejemplo, 1.800.000? Creo que sería interesante hacer aquí la reflexión acerca del número de palabras que hay en el Quijote porque, curiosamente, es algo más de 1.600.000… ¿contaría Cervantes las palabras de su libro y las convertiría en “su mejor ejército”?

[...] Y, otra vez arremetió con un grandísimo y poderosísimo ejercito, donde llevó más de un millón y seiscientos mil soldados, todos armados desde el pie hasta la cabeza, y los desbarató a todos, como si fueran manadas de ovejas (I, 32).

En aquella época, un ejército de 1.600.000 hombres no sólo sería algo imposible, sino inimaginable, puesto que sabemos que, a finales del siglo XVI, una ciudad como Sevilla tenía 40.000 habitantes, Toledo contaba con 37.000 habitantes y Granada con 26.000 habitantes. El 24 de junio de 1812, el emperador Napoleón cruzaba el río Niemen y se adentraba en Rusia a la cabeza de un ejército de más de 450.000 hombres. Sin duda un gran ejercito, pero aún muy inferior en número al citado en nuestra novela. Sobre este número de 1.600.000 hombres, sin duda alguna exagerado, podemos plantearnos algunas cuestiones:

Si suponemos que un soldado ocupa 1m2 de tierra, ¿qué superficie necesitaríamos para colocar en orden a tantos soldados? ¿Cómo podríamos distribuirlos para que ocupasen la menor superficie posible?; ¿cuánto costaría mantener este ejército durante un determinado periodo de tiempo? Si observamos los precios y valores de las monedas citados en el capítulo anterior y estimamos que un soldado necesitaría al menos un pan diario para su sustento cuyo precio sería un real:

[…] porque en la Corte son los gastos grandes: que el pan vale a real […] (II, 52)

El coste del ejército de 1.600.000 soldados sería aproximadamente 123.000 escudos de oro. ¡Una barbaridad!

Una primera reflexión necesaria a la hora de pasar a ocuparnos de los grandes números es que debemos ser conscientes de que el tamaño de algunas cantidades que hoy pueden resultar reales, en el pasado podrían ser algo impensable. Así, por ejemplo, en la España del siglo XVII, una ciudad de 50.000 habitantes estaría dentro del grupo de las grandes ciudades, pero, en la actualidad, una ciudad con esos habitantes es sólo una pequeña ciudad superada por muchos pueblos en cuanto al número de habitantes.

Una de las referencias más antiguas sobre los grandes números la podemos encontrar en Arquímedes:

Hay algunos, rey Gelón, que creen que la cantidad de arena es infinita en número, y por arena no me refiero sólo a la que existe en Siracusa y el resto de Sicilia, sino también a la que se halla en cualquier región, habitada o deshabitada. Y además, hay algunos que sin considerarla infinita creen no obstante, que no se ha designado ningún número lo suficientemente grande para rebasar su cantidad.

Arquímedes, en su obra el Arenario, calculó el número de granos de arena que serían necesarios para llenar todo el Universo. ¿Qué cantidad obtuvo? En realidad, no se puede calcular con precisión los granos de arena que llenarían la Tierra, pero podemos hacer una estimación siguiendo estos pasos:

- Calcula el volumen de la Tierra considerándola como una esfera de radio R= 6.500 km.

- Expresa el resultado en mm3.

- Calcula el número de granos de arena suponiendo que 100 de ellos ocupan 1 mm3.

Para realizar dicho cálculo, Arquimedes debió de trabajar con números muy grandes. Para ello, tuvo que idear una notación que le permitiera manejar dichos números. Utilizó el concepto de órdenes, escribiendo términos como “números de primer orden”, de “segundo orden”, etc. Arquímedes llegó a establecer que la suma de ordenes de varios números se correspondía con el orden del producto de dichos números, intuyendo así el principio en el que, siglos más tarde, habría de basarse el concepto de logaritmo.

Otros muchos científicos se ven obligados a manejar números sumamente grandes. En este punto, es interesante hacer referencia a un número, el googol, que es 10100. El nombre se lo puso un niño de 9 años, sobrino de un matemático estadounidense de los años 40 llamado Edward Kasner. Su notación en cifras sería un 1 seguido de 100 ceros. Un número mucho mayor es el googolplex, que es 101 googol. Estos números superan todo lo que se pueda contar y medir en el mundo físico, porque incluso es imposible escribir de forma física el googolplex, ya que tiene más ceros que las partículas que componen el universo. El googol, por tanto, es un número muy grande. Quizás ese tamaño tan enorme ha servido para que el famoso buscador de Internet Google adoptara dicho nombre. Esta es una forma de decirnos que los intercambios, búsquedas, conexiones a través de Internet superarán cualquier cantidad que pudiéramos imaginar.

En la actualidad, es frecuente la utilización de grandes números cuando hablamos de cuestiones referidas a la informática. Así pues, en el lenguaje cotidiano hemos incorporado expresiones del tipo kilo-byte, mega-byte, giga-byte, etc., que expresan números muy grandes, aunque quizás no sepamos muy bien a que nos referimos al utilizar estas expresiones.

“... A cada uno lo que tocare...”

[...] y lo que he pensado es hacer de mi hacienda cuatro partes: las tres os daré a vosotros, a cada uno lo que tocare, sin exceder en cosa alguna, y con la otra me quedaré yo para vivir y sustentarme los días que el cielo fuere servido de darme de vida (I, 39).

En las herencias intervienen siempre repartos que hay que ejecutar de acuerdo con los criterios del donante. A veces es difícil realizar estos repartos, bien ya sea porque las valoraciones de los patrimonios pueden ser muy dispares, o porque las condiciones del testamento sean discutibles o a veces impredecibles.

El Islam es una religión basada en las enseñanzas escritas en su libro sagrado, el Corán, donde además de los contenidos, morales y de fe, se encuentran normas sobre como hay que actuar en muchos actos cotidianos, desde la alimentación, a la higiene, a las relaciones personales, a temas bancarios, etc. y dentro de los mismos, hay respuestas del Profeta a preguntas sobre algo normal, la herencia. El complicado sistema de herencia, que impone el Corán, obligó a los árabes a resolver problemas matemáticos de repartos de herencias. Veamos algunos ejemplos:

1. La herencia árabe

Un hombre, cuya mujer está por dar a luz, muere disponiendo en su testamento lo siguiente: si nace niño, éste se llevará 2/3 de la herencia y 1/3 la madre. Si nace niña, ésta se llevará 1/3, y 2/3 la madre. Ocurre que nacen mellizos, niño y niña. ¿Cómo debe repartirse la herencia?

2. El reparto de los camellos

Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte. Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto, se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había más remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al Cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el Cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el Cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos.

3. El reparto de las perlas

Un antiguo problema árabe cuenta de qué manera, al morir un rico sultán, sus hijos se repartieron la herencia, consistente en un cierto número de perlas. El hijo mayor tomó una perla más una séptima parte del resto; el segundo, dos perlas más un séptimo del resto; y así sucesivamente. Al terminar el reparto, todos los hijos habían recibido el mismo número de perlas. ¿Cuántos hijos y perlas tenía el sultán?

4. Reparto de monedas

Llegaron a un oasis dos beduinos, Musa y Masa, que venían del desierto. Se disponían a almorzar cuando vieron aparecer a un peregrino con cara de hambre, movidos a compasión decidieron repartir sus pertenencias. Musa tenía cinco panes y Masa tres. Sacaron los ocho panes y los repartieron entre los tres, comiendo todos lo mismo. Al final el peregrino dijo agradecido: “Por las barbas del Profeta, yo, que tantas veces he comido en bellos palacios, jamás hallé tanto placer como hoy. Así que os pagaré con generosidad” y les dio ocho monedas de oro, a la vez que desaparecía.

Masa se apresuró a coger tres monedas, diciendo: “Como he puesto tres panes, estas monedas son para mí”. Pero Musa le replicó: “Masa, no me gusta tu reparto, lo justo es que yo me lleve más de las cinco que me has dejado”. ¿Quién tenía razón? ¿Cómo deben repartirse las monedas?

“… Háseles demostrar con las manos, y ponérselo delante de los ojos…”

[...] sino que se les han de traer ejemplos palpables, fáciles, inteligibles, demostrativos, indubitables, con demostraciones matemáticas que no se pueden negar, como cuando dicen: “Si de dos partes iguales quitamos partes iguales, las que quedan también son iguales”; y cuando esto no entienden de palabra, como en efeto, no lo entienden, háseles demostrar con las manos, y ponérselo delante de los ojos, y, aún con todo esto, no basta nadie con ellos a persuadirles las verdades de mi sacra religión (I, 33).

A propósito dejo para el final la famosa “Paradoja del Quijote” o paradoja de ahorcado que ya se trató en una anterior entrada: 

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LAS MATEMÁTICAS EN EL QUIJOTE. JOSÉ LUIS CARLAVILLA FERNÁNDEZ. UNIVERSIDAD DE CASTILLA-LA MANCHA